A-Level 数学第二年学什么：剑桥 Paper 3 纯数九个主题，爱德思 P3、P4 逐条看

A-Level 数学的“选择”只在应用部分：剑桥 9709 在力学（Paper 4）和概率统计 2（Paper 6）之间选，爱德思 IAL 从 M1、S1、D1、M2、S2 中按规定组合选两个单元。这些组合和应用卷的内容，我们已经在A-Level 数学怎么考、A-Level 统计怎么学、A-Level 力学怎么学里讲过。这篇讲第二年的必考核心：纯数。剑桥 Paper 3 纯数 3 和爱德思 P3、P4 都是 A Level 必考，而且分量最重。本文依据剑桥 9709（2026、2027 年考试版）和培生 IAL 数学考纲（第 3 版）逐条整理，并对照两者的差别。

一、第二年考哪几张卷

剑桥 9709：分阶段考的话，第一年考 Paper 1 和一张应用卷（Paper 4 或 Paper 5），第二年考 Paper 3 和另一张应用卷。考纲列出三种安排：

• 第一年 Paper 1 + Paper 4，第二年 Paper 3 + Paper 5；
• 第一年 Paper 1 + Paper 5，第二年 Paper 3 + Paper 4；
• 第一年 Paper 1 + Paper 5，第二年 Paper 3 + Paper 6。

Paper 3 纯数 3：1 小时 50 分钟、75 分，9–11 道结构化题，只用于 A Level，占 A Level 的 30%。考纲说明，Paper 1 的内容是默认知识，可能在 Paper 3 中考到。

爱德思 IAL：P3、P4 是 A Level 的必考单元，各 1 小时 30 分钟、75 分，全部题目必答，可用计算器（不能有符号运算功能），提供公式与统计表手册。P3 以 P1、P2 为前提，P4 以 P1–P3 为前提。第 35 篇核对过，IAL 数学 A* 要求 P3 和 P4 的 UMS 合计至少 180 分（满分 200）。

二、剑桥 Paper 3：九个主题

1. 代数：绝对值（画 y = |ax + b|，解绝对值方程和不等式；考纲注明不考非线性函数的 y = |f(x)| 和 y = f(|x|)）；多项式除法（最高四次）；因式定理和余数定理；部分分式（分母最复杂到 (ax+b)(cx+d)(ex+f)、(ax+b)(cx+d)²、(ax+b)(cx²+d)，不考分子次数高于分母的情况）；n 为有理数时 (1 + x)ⁿ 的展开及成立范围（不要求求通项）；
2. 对数和指数函数：对数运算法则（不考换底）；eˣ 和 ln x 的性质、图像和互为反函数；解指数中含未知数的方程和不等式；用对数把关系化成直线形式，由斜率和截距求常数；
3. 三角：sec、cosec、cot 及六个三角函数的图像和性质；恒等式化简和解方程：sec²θ ≡ 1 + tan²θ，和角公式，二倍角公式，把 a sin θ + b cos θ 化成 R sin(θ ± α) 或 R cos(θ ± α)；
4. 微分：eˣ、ln x、sin x、cos x、tan x、tan⁻¹x 的导数（不要求 sin⁻¹x 和 cos⁻¹x）；积和商的求导；参数方程和隐函数的一阶导数，包括求切线和法线；
5. 积分：e^(ax+b)、1/(ax+b)、sin、cos、sec²(ax+b)、1/(x²+a²) 的积分；用三角公式积分（比如用二倍角公式积 sin²x）；用部分分式积分；识别 kf′(x)/f(x) 型；分部积分；用给定的换元求积分；
6. 方程的数值解：用图像或符号变化定位根；迭代格式 xₙ₊₁ = F(xₙ) 和方程的关系，用迭代求到指定精度（不要求收敛条件，但要知道迭代可能不收敛）；
7. 向量：二维和三维向量的记号和运算；模、单位向量、位置向量；直线方程 r = a + tb；判断两条直线平行、相交还是异面，求交点；数量积，求两直线夹角、点到直线的垂足。考纲注明不要求异面直线的最短距离，也不要求向量积；
8. 微分方程：把变化率的描述写成微分方程（包括引入比例常数）；分离变量求通解，用初始条件求特解；在实际情境中解释结果；
9. 复数：实部、虚部、模、辐角、共轭；直角坐标形式的四则运算；实系数多项式方程的非实根成共轭对出现；阿甘图；极坐标形式的乘除；求复数的两个平方根；复数运算的几何意义；在阿甘图上表示轨迹，如 |z − a| < k、|z − a| = |z − b|、arg(z − a) = α。

三、爱德思 P3 和 P4

P3（六个主题）：

• 代数和函数：有理式化简和代数除法；函数的定义域、值域，复合函数和反函数；绝对值函数，包括由 y = f(x) 的图像画 y = |f(x)| 和 y = f(|x|)；y = af(x)、f(x) + a、f(x + a)、f(ax) 的组合变换；
• 三角：sec、cosec、cot 和 arcsin、arccos、arctan；平方关系恒等式；二倍角（含半角的应用）、和角公式，a cos θ + b sin θ 化成 r cos(θ ± α) 或 r sin(θ ± α)；
• 指数和对数：eˣ 和 ln x 的图像及互为反函数；用对数图像估计 y = axⁿ 和 y = kbˣ 中的参数；
• 微分：e^(kx)、ln kx、sin kx、cos kx、tan kx 的导数；积、商、链式法则（还要求 cosec x、cot x、sec x 的导数）；dy/dx = 1/(dx/dy)；指数增长和衰减模型；
• 积分：基本函数的积分；识别 f′(x)/f(x) 和 f′(x)[f(x)]ⁿ 型；用三角恒等式积分；
• 数值方法：用符号变化定位根；迭代法求近似解。

P4（七个主题）：

• 证明：反证法，包括证明 √2 是无理数、素数有无穷多个，并用于陌生的证明；
• 部分分式：分母最复杂到重复的一次因式；分子次数可以等于或高于分母；不要求 (x² + a) 这样的二次因式；
• 参数方程：与直角坐标方程互化；
• 二项式展开：n 为任意有理数，包括用部分分式展开有理函数；
• 微分：隐函数和参数方程求导，包括切线和法线；建立简单的微分方程，可能考相关变化率；
• 积分：旋转体体积（要求绕 x 轴 π∫y²dx，不要求 π∫x²dy，包括参数方程给出的曲线）；换元积分和分部积分（可能要连续两次分部积分）；部分分式积分；分离变量解一阶微分方程；由参数方程求曲线下面积；
• 向量：二维和三维向量；模和单位向量；位置向量和两点间距离；直线的向量方程，平行、相交、异面的条件；数量积和两直线夹角。

四、两个考试局差在哪

实际意义是：用哪套教材和习题，要按自己的考纲取舍。比如考剑桥的同学，复数是第二年的重点章节；考爱德思数学的同学，则要专门练反证法和参数方程的面积、体积。

五、怎么学第二年的纯数

以下是经验性建议：

1. 先补第一年的基础：两个考试局都明确，第一年的纯数是默认知识、可能直接考。函数、三角、基础微积分不熟，第二年会很吃力；
2. 微积分是主线：第二年的求导法则、积分方法（换元、分部、部分分式、三角公式）和微分方程是连在一起的，按“会求导 → 会积分 → 会解微分方程”的顺序练；
3. 三角恒等式要熟练：化简、解方程、积分都会用到，把考纲列出的恒等式练到能选对公式；
4. 向量画图：三维直线的位置关系、夹角、垂足，先画示意图再列式；
5. 剑桥考生单独练复数：复数是新内容，代数运算、极坐标形式和阿甘图轨迹都要练，考纲要求乘除和开方写出完整过程；
6. 爱德思考生练证明：反证法要能写出完整的逻辑结构（证明题写法见第 195 篇）；
7. 真题按主题再按整卷：学完一章做这一章的往年真题，最后按考试时间做整卷，严格对照评分细则。

最后

A-Level 数学第二年的应用卷可以选，但纯数是必考核心：剑桥 Paper 3 占 A Level 的 30%，爱德思 P3、P4 决定 A*。两个考试局的纯数大体相近，但在复数、反证法、旋转体体积、部分分式等地方有明显差别。按自己的考纲逐条过一遍，第二年的复习就有了清单。如果你需要 A-Level 数学辅导，可以和我们的老师聊一聊。

核对说明：本文于 2026 年 9 月核对：剑桥 9709 分阶段路线的三种安排、Paper 3 的时长、分值、题量和占比、Paper 1 为默认知识的说明、Paper 3 九个主题的内容和各项注明（包括不考的内容），以及旋转体体积属于 Paper 1，来自剑桥国际《Mathematics 9709 syllabus for 2026 and 2027》（第 4 版）；爱德思 P3、P4 的前提知识、时长、分值、计算器和公式手册规定、各主题内容和说明，以及复数属于进阶数学 FP1，来自培生 IAL 数学、进阶数学与纯数学考纲（第 3 版）；IAL 数学 A* 规则已在本站第 35 篇中核对。内容是我们的节译。学习方法是我们的经验性建议。

参考来源：

• Cambridge International：AS & A Level Mathematics (9709)
• Pearson：International Advanced Level Mathematics
• Cambridge International：Mathematics 9709 Syllabus 2026–2027（PDF）
• Pearson：IAL Mathematics Specification（PDF）